Indice (en sémantique intensionnelle)

par Laurent Roussarie

Introduction

Les indices sont des éléments fondamentaux de la formalisation de la sémantique intensionnelle. David Lewis en donne une efficace définition, dans les termes suivants:

Indices are supposed to be packages of everything but meaning that goes into determining extension. (Lewis, 1972, p. 213)

La théorie sémantique conçoit le sens (meaning, ou encore intension)¹ d'une expression comme un objet stable, seulement dépendant du code linguistique. En vertu de quoi l'on peut affirmer que tout locuteur francophone de bonne volonté comprendra sans difficulté la phrase:

(1) Le Maréchal Ney avait six orteils au pied gauche.

car son sens est immédiatement accessible. En revanche, peu de locuteurs sauront se prononcer avec certitude quant à la dénotation (ou extension), c'est-à-dire la valeur de vérité, de (1). Ce qui manque ici est précisément ce que par définition l'on nomme les indices. En l'occurrence, il s'agit d'un ensemble de paramètres extralinguistiques nous renseignant, entre autres, sur l'anatomie de personnages de l'Histoire de France. Techniquement ce type d'informations correspond au modèle par rapport auquel on évalue la phrase. Or le propre de la sémantique intensionnelle est de disposer d'une multiplicité potentielle de modèles. C'est pourquoi il est également habituel d'envisager les indices intensionnels comme ces dispositifs formels permettant de démultiplier les modèles, c'est-à-dire en faisant intervenir la notion mathématique de familles de modèles dans la théorie.

Définition générale

En mathématique, un indice² est un objet quelconque qui permet d'identifier un autre objet au sein d'une famille. La notion de famille propose une manière de formaliser le concept plus général de collection, en concurrence et en complément à la notion d'ensemble. On définit une famille au moyen d'un ensemble d'indices, avec les notations suivantes: soit <math>I</math> un ensemble non vide d'indices, <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> est une famille d'objets indexée par <math>I</math>. <math>a_i</math> désigne un objet de la famille, et on dit qu'il en est le terme d'indice <math>i</math>. Un indice fonctionne donc comme une étiquette qui individualise un élément d'un ensemble. En pratique, on utilise souvent des entiers naturels en guise d'indices; c'est-à-dire qu'on prend <math>\mathbb{N}</math> ou un sous-ensemble de <math>\mathbb{N}</math> pour <math>I</math>. Mais ce n'est là qu'une commodité d'écriture: <math>I</math> peut être un ensemble non vide tout à fait quelconque, même si, dans les faits, <math>I</math> doit être aussi grand que le nombre d'objets dans la collection que l'on formalise sous forme de famille. Enfin, dès que les termes d'une famille sont donnés comme appartenant à un ensemble <math>X</math>, la famille peut, de manière équivalente, être définie comme une fonction de <math>I</math> vers <math>X</math>; <math>a_i</math> et <math>a(i)</math> sont de simples variantes de notation.

Indices et modèles

Rappelons qu'en sémantique extensionnelle, une expression interprétable a une et une seule valeur sémantique relativement à un modèle donné. Cette valeur sémantique (on parle aussi d'interprétation) est alors assimilée à l'extension de l'expression. Un modèle (extensionnel) est une spécification formelle d'un certain état de choses, c'est-à-dire une description statique du monde. L'intension d'une expression, quant à elle, ne dépend pas d'un modèle donné: c'est au contraire une généralisation de la notion de valeur sémantique sur la notion de modèle. En d'autres termes, l'intension d'une expression est ce qui nous donne sa dénotation pour chaque modèle possible.

Ainsi, dès lors que l'on souhaite manipuler formellement la notion d'intension dans une théorie sémantique, il convient de se donner un ensemble, ou plus exactement une famille, de modèles. On pourra la noter ainsi: <math>\{\mathcal{M}\}_{i \in I}</math> où <math>I</math> est donc un ensemble d'indices qui permet, finalement, de démultiplier les modèles dans lesquels on cherchera à évaluer sémantiquement une expression. Et si <math>\alpha</math> est une expression interprétable, on notera <math>[\![\alpha]\!]^{\mathcal{M}_i}</math> la valeur sémantique (dénotation) que prend précisément <math>\alpha</math> dans <math>\mathcal{M}_i</math>, le modèle d'indice <math>i</math>. Comme un modèle est, minimalement, un structure bipartite composée d'un ensemble d'individus (le domaine de quantification, notons-le <math>\mathcal{A}</math>) et d'une fonction d'interprétation des constantes non logiques (notons-la <math>F</math>), l'indexation se propage sur ces composants, et on pourra écrire <math>\mathcal{M}_i = \langle\mathcal{A}_i,F_i\rangle</math> pour chaque indice <math>i</math>, afin d'expliciter l'individualisation de chaque modèle de la famille. Reste maintenant à préciser la nature exacte que l'on doit attribuer aux éléments de <math>I</math> (les indices) dans une théorie sémantique.

Mais avant d'aborder cette question dans la section suivante, faisons encore un point de formalisation. Une famille de modèles décrit une pluralité d'états de choses, une variété de configurations du monde. Or il peut être légitime de considérer que d'une certaine manière, au delà de cette variété, il est toujours question du même monde, ou du moins que l'on peut concevoir une entité constante qui serait le monde (ou le « Monde ») et qu'on se donne les moyens de l'envisager dans différents états. C'est pourquoi il est coutumier, plutôt que de se donner plusieurs modèles, de modéliser l'extralinguistique à l'aide d'une seule structure, qui est le modèle, représentant le Monde, et d'y incorporer l'ensemble d'indices <math>I</math> qui générera les variantes nécessaires à l'intensionnalité. On a alors <math>\mathcal{M} = \langle\mathcal{A},F,I\rangle</math> et à ce moment, <math>\mathcal{A}</math> et <math>F</math> sont respectivement une famille de domaines (<math>\{\mathcal{A}_i\}_{i\in I}</math>) et une famille de fonctions d'interprétation (<math>\{F_i\}_{i\in I}</math>), toutes deux indexées par <math>I</math>³. Un modèle qui, comme celui-ci, inclut un ensemble d'indices est dit intensionnel.

Ontologie des indices chez Montague (et d'autres)

Rappelons qu'une manière de voir l'intensionnalité en sémantique, c'est la possibilité d'assigner à une même expression plusieurs valeurs sémantiques en fonction de paramètres qui servent de points de référence à l'évaluation. Ces paramètres sont modélisés par les indices de modèle, qui, on l'a vu, étiquettent des états de choses. Formellement, l'intension d'une expression est donc une fonction dont le domaine de définition est l'ensemble d'indices et le co-domaine l'ensemble d'extensions appropriées pour l'expression en question. Rappelons également qu'une proposition, ie l'intension d'une phrase déclarative, peut se définir, de manière équivalente, comme l'ensemble des indices pour lesquels la phrase est vraie⁴.

Pour Montague, qui s'inscrit dans la lignée de travaux antérieurs en logique modale (Carnap, Kanger, Hintikka, Kripke) et temporelle (Prior), les états de choses pertinents sur lesquels définir les intensions sont, en premier lieu, déterminés par une coordonnée temporelle (un instant ou temps) et une coordonnée de monde possible. En effet, pour connaître (ou, si l'on veut, pour résoudre univoquement) l'extension de « le président de la république française », il est nécessaire d'alléguer un certain moment du Temps (ou disons, de l'Histoire de France). De même, pour interpréter une phrase comme « Adèle croit qu'un dragon a piétiné ses bégonias », il faut pouvoir assigner, au moins provisoirement, une extension à « un dragon », mais cette extension est définie seulement par rapport à certains mondes possibles, qui sont compatibles avec les croyances d'Adèle mais certainement pas avec celles du locuteur.

Par conséquent, dans par exemple PTQ (Montague, 1973), un indice <math>i</math> est un couple <math>\langle w,t\rangle</math>, où <math>w</math> est un monde possible et <math>t</math> un instant. De ce fait, <math>I</math> l'ensemble des indices devient légèrement complexe : il s'obtient en croisant l'ensemble des mondes (<math>\mathcal{W}</math>) et celui des temps (<math>\mathcal{T}</math>), autrement dit correspond au produit cartésien <math>\mathcal{W}\times\mathcal{T}</math>. Cependant, notons qu'il est plus habituel de présenter un modèle intensionnel de la manière suivante : <math>\langle\mathcal{A},F,\mathcal{W},\mathcal{T}\rangle</math> (plutôt que <math>\langle\mathcal{A},F,\mathcal{W}\times\mathcal{T}\rangle</math>). Partant, on note <math>[\![\alpha]\!]^{\mathcal{M},w,t}</math> l'extension de <math>\alpha</math> relativement au modèle <math>\mathcal{M}</math> à l'instant <math>t</math> dans le monde <math>w</math>. Ajoutons qu'il est nécessaire de compléter un tel modèle en munissant <math>\mathcal{W}</math> d'une ou plusieurs relation(s) d'ordre(s) partiel(s), à savoir les relations dites d'accessibilité qui fondent les divers types de modalités que l'on prévoit de traiter (cf. l'article sur les logiques modales), et en munissant <math>\mathcal{T}</math> d'un ordre total, qui est la relation d'antériorité temporelle. Les indices, en tant que catégories ontologiques de la théorie sémantique, sont donc naturellement organisés (ordonnés).

On a vu qu'un indice est l'argument, de fait complexe, que prend la fonction intension pour déterminer une extension, relativement à un modèle fixé préalablement. Regardons à présent dans quelle mesure il est envisageable d'étendre, de raffiner et de restreindre (voire de corriger) la proposition de Montague.

Premièrement, on sait qu'un couple monde-temps n'est pas suffisant pour le calcul de l'extension de toute expression contenant une variable libre (comme par exemple un pronom), et qu'à cet effet il est nécessaire de faire intervenir comme paramètre d'évaluation une fonction d'assignation de valeurs aux variables, généralement notée <math>g</math>. Lewis (1972) propose, à cet égard, de leur réserver une place dans la structure des indices. Cette option est tout à fait concevable, même s'il est généralement reconnu que les assignations ont un statut très particulier dans l'ontologie, ne serait-ce que parce qu'elles décrivent des distributions des variables du langage sémantique et non pas un état particulier du monde. A ce titre on les incorpore rarement au modèle (même si elles y sont connectées); et lorsque l'on définit une proposition comme un ensemble d'indices, il est courant de ne pas y faire figurer les assignations.

Deuxièmement, de nombreux linguistes et philosophes⁵, depuis de nombreuses années, ont montré que le traitement du temps linguistique de PTQ, inspiré des logiques temporelles de type modal à la Prior (1967), était inadéquat. En d'autres termes, l'expression du temps dans la langue ne doit pas être analysée sémantiquement de manière intensionnelle, mais, au contraire, extensionnelle. Cela signifie que les éléments de temporalité qui apparaissent dans le sens des énoncés doivent intervenir directement dans la structure sémantique des phrases en tant qu'objets (temporels) du langage possédant leur dénotation propre. Par conséquent, les « temps »⁶ ne peuvent pas se réduire à des paramètres externes aux expressions comme le sont les indices dans la définition que nous en avons donnée supra.

Troisièmement, comme l'a montré Kaplan (1978) (entre autres), il faut se garder de confondre indice et contexte d'énonciation. Cette « confusion », qui apparaît par exemple dans Montague (1972) et Lewis (1972), est d'autant plus redoutable du fait de la malheureuse interférence étymologique entre indice/index d'une part et indexical d'autre part. Certes le contexte d'énonciation fournit un jeu de points de référence qui livreront l'extension des expressions indexicales (déictiques), mais pour des raisons logiques éminentes ces paramètres, nécessaires à l'interprétation, ne peuvent pas être placés sur le même plan que les indices intensionnels. La thèse de Kaplan est que la détermination de l'extension d'une expression s'obtient par l'enchâssement de deux fonctions distinctes: d'abord le caractère de l'expression, qui est une fonction définie sur l'ensemble des contextes d'énonciation et qui à chaque contexte assigne une intension à l'expression, qui à son tour est une fonction des indices vers les extensions (ce que l'on peut schématiser comme suit : contexte ↦ (indice ↦ extension)). Voir l'article sur la logique démonstrative et celui sur les contextes pour plus de détails.

A ce stade de l'examen, il ne nous reste guère que les mondes possibles à prétendre au rôle d'indices intensionnels, et c'est bien, finalement, cette vision qui est le plus couramment adoptée de nos jours en sémantique formelle. Terminons avec deux remarques à ce sujet. D'abord, si l'on considère qu'un modèle intensionnel est proprement défini au moyen d'un et un seul domaine de quantification <math>\mathcal{A}</math> (qui devient donc rigide et stable par rapport aux indices, et <math>\mathcal{A}</math> est en fait l'union de tous les <math>\mathcal{A}_i</math>), alors les indices, ie en l'occurrence les mondes, ne servent plus qu'à induire une variété de fonctions d'interprétation <math>F</math>. Dans ce cas, un monde <math>w</math> n'est, formellement, pas différent de la fonction d'interprétation indexée par <math>w</math> (<math>F_w</math>). Ce genre d'assimilation peut apporter, au delà d'une simple économie de notation, une meilleure compréhension de la notion de mondes possibles : un monde possible est un certain état de l'extension de tous les prédicats de la langue. Enfin, soulignons qu'il est parfaitement envisageable d'opérer sur les mondes possibles le même genre de procédé d'extensionnalisation que pour la temporalité. Les mondes deviennent alors des entités du modèle auxquelles des termes du langage peuvent faire référence. Un formalisme comme la théorie des types à deux sortes (cf. (Gamut, 1991, § 5.8)) permet l'implémentation d'une telle option; à ce moment là, le recours aux indices, tels qu'ils ont été définis ici, disparaît — sans pour autant faire perdre en expressivité la formalisation sémantique⁷.

Conclusion

Les indices nous sont d'abord présentés comme étant ce qui fait changer l'extension d'une expression donnée. Mais cette caractérisation s'avère trop large, du moins du strict point de vue de l'intensionnalité — dans sa formulation classique. En effet l'intension d'une expression s'obtient par abstraction des indices (sur l'extension). Or, par exemple dans un enchâssement (sous une modalité ou une attitude propositionnelle), l'intension d'une phrase abstrait les mondes possibles mais pas les paramètres du contexte d'énonciation. Ajoutons enfin qu'un indice ne constitue pas en soi un objet ni même un phénomène sémantique; c'est un dispositif formel du métalangage qui permet de rendre compte de certains phénomène, comme l'intensionnalité.

Notes

¹ Ici, sens et dénotation suivent les définitions de Frege (1892) et coïncident respectivement avec les notions d'intension et d'extension de Carnap (1947).

² On trouve aussi le terme index, qui n'est pas impropre, même s'il est parfois assimilé à un anglicisme. Notons à ce sujet que l'anglais ne dispose que d'un seul terme: index au singulier, indices au pluriel.

³ Comme mentionné en § 2, on peut alternativement voir <math>\mathcal{A}</math> et <math>F</math> comme des fonctions définies sur <math>I</math> assignant à chaque indice respectivement un domaine de quantification et une fonction d'interprétation.

⁴ Puisque l'extension d'une phrase est une valeur de vérité (0 ou 1), son intension est bien une fonction caractéristique d'un ensemble d'indices.

⁵ Citons ici simplement Partee (1973).

⁶ Ce point vaut quel que soit l'engagement ontologique que l'on adopte quant à la nature exacte des entités temporelles adéquates (instants, intervalles, événement, etc.).

⁷ En fait, un langage logique qui type les mondes possibles est même plus expressif que celui, par exemple, de PTQ — peut-être trop expressif selon certains auteurs (cf. Gamut (1991)).

Références bibliographiques

Les manuels de sémantique du paradigme de la grammaire de Montague proposent des présentations pédagogiques et assez étendues de la notion d'indice intensionnel; voir donc Dowty et al. (1981), Chierchia and McConnell-Ginet (1990), Gamut (1991). Voir aussi Lewis (1972) pour introduction fondamentale de la notion.

• Carnap, R. (1947). Meaning and Necessity. University of Chicago Press, Chicago.

• Chierchia, G. and McConnell-Ginet, S. (1990). Meaning and Grammar: An Introduction to Semantics. MIT Press, Cambridge, MA.

• Dowty, D. R., Wall, R. E., and Peters, S. (1981). Introduction to Montague Semantics. D. Reidel, Dordrecht.

• Frege, G. (1892). Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100:22-50. Trad. fr. Sens et dénotation, in Ecrits logiques et philosophiques (pp. 102-126), Paris : Seuil, 1971.

• Gamut, L. T. F. (1991). Logic, Language, and Meaning. Volume 2: Intensional Logic and Logical Grammar. University of Chicago Press, Chicago.

• Kaplan, D. (1978). On the logic of demonstratives. Journal of Philosophical Logic, 8:81-89.

• Lewis, D. (1972). General semantics. In Davidson, D. and Harman, G., editors, Semantics of Natural Language, volume 40 of Synthese Library, pages 169-218. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland.

• Montague, R. (1972). Pragmatics and intensional logic. In Davidson, D. and Harman, G., editors, Semantics of Natural Language, Synthese Library, pages 142-168. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland.

• Montague, R. (1973). The proper treatment of quantification in ordinary English. In Hintikka, K. J. J., Moravcsik, J. M. E., and Suppes, P., editors, Approaches to Natural Language, pages 221-242. Reidel, Dordrecht.

• Partee, B. (1973). Some structural analogies between tenses and pronouns in English. Journal of Philosophy, 70:601-609.

• Prior, A. (1967). Past, Present and Future. Oxford University Press, Oxford.

Articles connexes

• Contexte;
• Indexicalité (Déixis);
• Intensionnel vs extensionnel;
• Logique des démonstratifs;
• Logiques modales;
• Modèle;
• Monde possible.

Voir aussi : Indices (interface syntaxe-sémantique).